多元函数微分学知识点睛

知识结构：

必备基础知识

★偏导数的概念（增量比值的极限）几元函数就由几个偏导数

（1）函数在点处对的偏导数

=

（2）函数在点处对的偏导数

=

★全微分的定义如果函数在点(x，y)的全增量

Dz=f(x+Dx，y+Dy)-f(x，y)

可表示为

，

其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关，则称函数在点(x，y)可微分，而称ADx+BDy为函数在点(x，y)的全微分，记作，即

=

如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分。

★全微分存在的充分必要条件

（必要条件）：如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为：．

（充分条件）　如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分．习惯上，记全微分为：

★二阶偏导数

（1）纯偏导

一阶偏导对,二阶偏导还是对

一阶偏导对,二阶偏导还是对

（2）混合偏导

一阶偏导对,二阶偏导对

一阶偏导对,二阶偏导对

★二元函数的极值定义

设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x₀,y₀)的点(x,y),都有

f(x,y)<f(x₀,y₀)(或f(x,y)>f(x₀,y₀)),

则称函数在点(x₀,y₀)有极大值(或极小值)f(x₀,y₀).

极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点。

主要考察知识点和典型例题：

考点一：偏导数的计算（对谁求偏导，谁是变量，其余看成常数）

根据偏导数的定义，偏导数的本质是增量比值的极限，而增量中只有一个变量发生了变化，其余的变量不变（不变就是常数），所以求偏导数的方法和求导数的方法是一样的。

典型例题求在点处的偏导数．

解:（1）对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：

（2）对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：

往年真题设函数，则等于(A)

A．

B．

C．

D．

解是对求偏导，把为变量，函数中的看成常数，则：

考点二：全微分计算（求全微分就是把所有的偏导数都求出来，乘上相应变量的微分后相加）

典型例题设函数，则全微分等于_______

解：，，

考点三：复合函数的偏导数——作为一般掌握

（同路相乘，异路相加，同级不通路）

1、中间变量是一元函数的情形

复合函数：、及

链式法则如图示：

公式中的导数称为全导数